Глава 1. Функции

§ 1.1. Действительные числа

Рассмотрим сначала понятие множества. Оно относится к основным понятиям, которые не определяются (так же как понятие числа, точки и т. д.). Объекты, составляющие множество, называются его элементами.

Если x является элементом множества A, то это обозначают следующим образом:(x принадлежит A). Записьозначает, что x не является элементом множества A (x не принадлежит множеству A). Далее мы ограничимся рассмотрением только числовых множеств. Рассмотрим некоторые числовые множества.

1. Множество натуральных чисел, т. е. числа 1, 2, 3, ... , обозначают буквой N.

2. Дополнив множество натуральных чисел N целыми отрицательными числами и нулем, получим множество целых чисел Z: числа 0, ±1, ±2, ±3, ...

3. Дополняя множество целых чисел Z дробными числами вида

где m - целые числа (положительные и отрицательные), n - натуральные числа, получаем множество рациональных чисел Q. Рациональными числами являются, например, числа целые числа).

4. Оказывается, что существуют числа, которые нельзя представить в виде дробиа можно представить только в виде бесконечной непериодической десятичной дроби. Такие числа называются иррациональными. Их примерами являются числа π = 3,14159...,

и многие другие. Дополняя множество рациональных чисел Q иррациональными числами, получаем множество действительных чисел R.

Оно обозначается такжеи называется числовой осью.

Рис. 1.1. Числовая ось

Числовая ось изображена на рис. 1.1. Любому действительному числу соответствует точка на числовой оси. И наоборот, любой точке на числовой оси соответствует действительное число - рациональное или иррациональное.

В математике часто используют промежутки на числовой оси, называемые числовыми промежутками. Рассмотрим определения и обозначения некоторых из них.

Отрезком от a до b называется числовой промежуток a ≤ x ≤ b. Отрезок обозначается квадратными скобками: [a, b]. Например, отрезок [-1, 5].

Интервалом от a до b называется числовой промежуток a ≤ x ≤ b. Он обозначается круглыми скобками (a, b). В отличие от отрезка, граничные точки a и b в интервал не входят.

Полуинтервалом называется числовой промежуток, которому принадлежит только одна из граничных точек - либо a, либо b. Он обозначается [a, b) или (a, b]. Граничная точка со стороны квадратной скобки принадлежит, а со стороны круглой скобки - не принадлежит полуинтервалу.

В математике часто встречаются полубесконечные числовые промежутки, иногда называемые числовыми лучами. Они бывают разных типов и обозначаются следующим образом: