Глава 5. Неопределенный интеграл

§ 5.1. Понятие неопределенного интеграла

В предыдущих главах мы рассматривали производную функции y = f(x). Часто в математике, физике и других науках возникает обратная задача - найти функцию y = f (x), если дана ее производная f (x). Введем сначала новое понятие первообразной функции.

Определение. Функция F(x) называется первообразной функции f (x), определенной на некотором интервале (a, b), если для всех x, принадлежащих этому интервалу, выполняется равенство F' (x) = f(x). (5.1)

Если функция F(x) дифференцируема на интервале (a, b), непрерывна на отрезке [a, b] и для всех x ε (a, b) выполняется равенство (5.1), то функцию F(x) называют первообразной для функции/(x) на отрезке [a, b].

Пример 5.1. Показать, что функция является первообразной функции f (x) = x².

Решение. Действительно, для всех x ε (-∞, +∞)

Однако нетрудно видеть, что, например, функция так-

же является первообразной функции f(x) = x², поскольку

Более того, любая функция видагде C - произвольная постоянная,

является первообразной той же функции f (x) = x².

На рассмотренном примере мы видим, что у функции существует бесконечное число первообразных. Таким образом, мы приходим к понятию неопределенного интеграла.

Определение. Неопределенным интегралом от функции f (x)dx, определенной на интервале (a, b), называется совокупность всех первообразных этой функции на рассматриваемом интервале:

Здесь- неопределенный интеграл; F(x) - одна из первообразных функцииf (x);

C - произвольная постоянная, называемая постоянной интегрирования; аргумент x называется переменной интегрирования.

Функция f (x) называется подынтегральной функцией, выражение f(x)dx - подынтегральным выражением. Заметим здесь, что писать дифференциал dx под знаком интеграла необходимо.

Процесс нахождения интеграла называется интегрированием. Пользуясь определением (5.2), мы можем найти интеграл от рассмотренной в примере 5.1 функции:

Вспомним физический смысл производной функции, рассмотренный в §§ 2.1 и 2.4. Пусть s(t) - зависимость координаты s прямолинейно движущейся точки от времени t. Мгновенная скорость движения v = s'(t), а мгновенное ускорение a = v'(t).

Пользуясь определением неопределенного интеграла, можно написать

Эти равенства используются в задачах физики для нахождения координаты или пройденного телом пути по известной скорости движения v(t), а также для нахождения скорости по известному ускорению a(t).

В общем случае интегрирование функций является более сложной задачей, чем нахождение производных. Перед обсуждением способов интегрирования функций рассмотрим основные свойства неопределенных интегралов.