Глава 6. Определенный интеграл

§ 6.1. Понятие определенного интеграла

Рассмотрим стачала понятие криволинейной трапеции и определение ее площади. Пусть дана неотрицательная функция y = f (x), непрерывная на конечном отрезке [a, b] (напомним, что отрезком [a, b] называется промежуток, включающий в себя крайние точки x = a и x = b). График функции в общем случае изображен на рис. 6.1.

Фигура, ограниченная графиком функции y = f (x), осью 0x и вертикальными прямыми x = a и x = b, называется криволинейной трапецией. На рис. 6.1 изображена криволинейная трапеция abCD.

Произведем такую последовательность действий.

Рис. 6.1. Криволинейная трапеция abCD. Геометрическая иллюстрация интегральной суммы и определенного интеграла

1. Отрезок [a, b] разобьем на n частей (не обязательно равных) точками, x₀ = a, x₁, x₂, ... , x_n = b. Каждый из полученных малых отрезков [x₀, x₁], [x₁, x₂], [x_{n - 1}, x_n] назовем частичным отрезком.

2. На каждом частичном отрезке [x_{i - 1}, x_i] возьмем произвольную точку c_i и вычислим значение функции в этой точке f (с).

3. Построим прямоугольники, основаниями которых служат частичные отрезки [ x_{/ - 1}, x_/], а высоты равны значениям функции в точках С_/, т. е. f(c_i), и вычислим их площади, равные f(c_i) ? Δx_i, где Δx_i - длины соответствующих частичных отрезков.

Будем понимать под площадью S криволинейной трапеции предел, к которому стремится суммарная площадь прямоугольников при стремлении к нулю длины максимального из частичных отрезков:

где Δx₁, Δx₂, ... , ΔAx_n - длины соответствующих частичных отрезков. Большая греческая буква Σ («сигма») с индексами i = 1 снизу и n сверху означает суммирование, т. е. мы составляем сумму из слагаемый f(с_i) Δx_i, подставляя в них последовательно i = 1, i = 2, i = n. Это и представлено в равенстве (6.1). Такое обозначение суммы используется в математике для краткости. Можно писать что-либо одно, т. е. либо использовать знак суммирования Σ, либо писать среднюю часть формулы (6.1) (как говорят, раскрыть знак суммирования).